你打開(kāi)Wordle，信心滿滿輸入一個(gè)詞，屏幕跳出一片灰色，你開(kāi)始慌了；第五次猜測(cè)還是沒(méi)對(duì)，眼看著只剩最后一次機(jī)會(huì)，手心冒汗，狂敲鍵盤又趕緊刪掉——這種體驗(yàn)是不是過(guò)于熟悉？你身邊應(yīng)該也有那種“每猜必中”的朋友，你懷疑他們?cè)谧鞅?，但今天要聊的研究可能?huì)讓你更崩潰：確實(shí)有人作弊了，只不過(guò)他們用的不是詞典，而是信息論。

最近，賓漢姆頓大學(xué)的研究者把一項(xiàng)70年前誕生的數(shù)學(xué)理論搬進(jìn)了這個(gè)風(fēng)靡全球的猜詞游戲，結(jié)果讓成功率飆升到了99%。他們做的不復(fù)雜——就是不再老老實(shí)實(shí)猜“最可能是答案的詞”，而是反過(guò)來(lái)，先猜“能給你最多信息的詞”。聽(tīng)上去有點(diǎn)反直覺(jué)？咱們今天就用幾條清單拆開(kāi)，把這件事講明白，順便吐吐槽：我們之前被Wordle虐，可能真的是自己沒(méi)想明白游戲在玩什么。

先記住一個(gè)結(jié)論，免得你后面又繞暈：Wordle本質(zhì)上不是猜詞游戲，而是信息收集游戲。你每一次敲下五個(gè)字母，真正的目的不是“這次就撞對(duì)答案”，而是“讓剩下來(lái)的可能性被砍掉一大半”。這個(gè)視角一轉(zhuǎn)，所有你以前糾結(jié)的“這個(gè)詞好像不太常見(jiàn)啊，該不該猜”就全有了新解釋。

下面我們就一條一條來(lái)，看看這群研究者到底是怎么用數(shù)學(xué)碾壓直覺(jué)的。

1. 你每一次猜詞，都是在給“不確定性”刮痧

賓漢姆頓大學(xué)的高級(jí)作者Congyu ‘Peter’ Wu和同事把Wordle定義成一個(gè)“動(dòng)態(tài)反饋系統(tǒng)”。說(shuō)人話就是：你每做一個(gè)動(dòng)作，系統(tǒng)就吐給你一點(diǎn)新信息，然后這些信息立刻改變你下一步的動(dòng)作。綠色告訴你某個(gè)字母位置全對(duì)，黃色告訴你某個(gè)字母存在但位置不對(duì)，灰色直接把一批字母扔進(jìn)垃圾桶。然后你拿著這些線索，再?zèng)Q定下一個(gè)詞是什么。

這個(gè)過(guò)程，在信息論里有個(gè)特別貼切的度量工具——熵。這個(gè)地方不用慌，熵說(shuō)白了就是“一攤子事有多混亂、多不確定”。游戲剛開(kāi)始時(shí)，所有可能的單詞都還在候選人名單里，你面對(duì)的是一片巨大的混亂，熵很高。每猜一個(gè)詞，反饋就會(huì)刮掉一大批不可能的選項(xiàng)，混亂下降，熵也下降。就像你在一個(gè)全黑的房間里找一枚硬幣，每照一次手電筒，就知道哪些角落不用再去翻了，整個(gè)局面從“亂七八糟不知道在哪”到“哦原來(lái)就可能在沙發(fā)縫里”，越來(lái)越有序。

Wu本人的原話就是：“通過(guò)這種連續(xù)的反饋，游戲的狀態(tài)隨著玩家從線索中學(xué)習(xí)、排除可能性而發(fā)展，每一輪都會(huì)降低不確定性?！倍档筒淮_定性的那把尺子，就是香農(nóng)熵——70年前克勞德·香農(nóng)搗鼓出來(lái)的概念，現(xiàn)在被拿來(lái)分析你的每日猜詞。

所以，一旦你接受了這個(gè)設(shè)定，就不會(huì)再因?yàn)椤拔也铝怂膫€(gè)字母全對(duì)，但第五個(gè)就是不對(duì)”而暴躁。因?yàn)槟愕拿看尾聹y(cè)，本來(lái)就不是為了當(dāng)答案王，而是為了當(dāng)信息王。

2. 香農(nóng)熵：一個(gè)70歲的“不確定性計(jì)算器”

既然整個(gè)游戲的本質(zhì)是把不確定性降到零，那么衡量不確定性的工具就變得至關(guān)重要。研究團(tuán)隊(duì)用的就是香農(nóng)熵，這個(gè)東西專門用來(lái)給“不確定”打分。一個(gè)事件的結(jié)果越不確定，熵值越高；一旦結(jié)果確定了，熵就歸零。Wordle里，當(dāng)你把剩余可能的單詞池壓到只剩下一個(gè)，熵就沒(méi)了，你也贏了。

我們可以用一個(gè)生活例子感受一下。假設(shè)你朋友在心里想了一個(gè)1到100之間的數(shù)字，讓你猜。你問(wèn)“是42嗎？”，如果不對(duì)，你只排除了一個(gè)數(shù)，剩余還有99個(gè)，不確定性幾乎沒(méi)減少，這次的“信息量”就極低。但你如果問(wèn)“大于50嗎？”，無(wú)論回答是還是否，你都一口氣砍掉50個(gè)數(shù)字，熵掉得飛快。這就是香農(nóng)熵在決策里的價(jià)值：一次好問(wèn)題帶來(lái)的信息增加，能讓你后續(xù)的猜測(cè)效率原地起飛。

Wordle的每一個(gè)猜測(cè)，就相當(dāng)于你在問(wèn)系統(tǒng)一個(gè)“五個(gè)字母長(zhǎng)的問(wèn)題”。問(wèn)題的好壞，直接決定你能不能在六次之內(nèi)把不確定性清零。研究者沒(méi)有把寶押在“問(wèn)一個(gè)最可能是答案的問(wèn)題”上，而是拼了命地找“能砍掉最多可能性的問(wèn)題”。這就是整篇論文的核心智慧，也是讓99%成功率落地的真正推手。

3. 那個(gè)讓你翻白眼的首詞，可能是最“值錢”的選擇

讀到這里你可能開(kāi)始不服了：“我憑語(yǔ)感選常用詞，不也是信息嗎？”沒(méi)錯(cuò)，但區(qū)別在于——你很可能被“看起來(lái)像答案”給騙了。論文的另一位作者，博士生Donald Stephens直接把話說(shuō)得很透：“一個(gè)猜測(cè)不一定非要是最有可能的答案，它只需要是信息量大的?！?/p>

這話聽(tīng)上去很冷靜，甚至有點(diǎn)冷漠，但仔細(xì)一想，它直接戳破了多數(shù)人玩Wordle的直覺(jué)誤區(qū)。你傾向于去試那些你覺(jué)得“真實(shí)存在”的詞，或者元音字母多的詞，因?yàn)槟阆乱庾R(shí)覺(jué)得這種詞更可能是答案。但從信息論的角度看，一個(gè)詞哪怕自己幾乎不可能是最終答案，只要它能高效地測(cè)試出大量字母是否存在、把剩余單詞池一劈為二，它就是一次優(yōu)質(zhì)猜測(cè)。

這里有必要停一下澄清一句：原文并沒(méi)有給出某一個(gè)具體的最優(yōu)首詞，所以咱們也不編造某個(gè)“神詞”。重點(diǎn)在于思路的轉(zhuǎn)向——從“找答案”變成“提問(wèn)”，你的猜測(cè)就不再是賭運(yùn)氣，而是主動(dòng)設(shè)計(jì)一場(chǎng)信息收割。

Stephens進(jìn)一步解釋，通過(guò)使用香農(nóng)熵，目標(biāo)就變成了“最大化不確定性的期望減少量，而不是最大化猜中的概率”。換句話說(shuō)，如果你今天考慮選A詞（你覺(jué)得它很可能是答案）和B詞（你覺(jué)得它大概率不是答案，但它能告訴你更多字母的存在與否），信息論會(huì)勸你選B，因?yàn)锽帶來(lái)的信息增益能讓你后面幾步走得更快。實(shí)踐中，這種策略常常讓玩家在更少的步數(shù)內(nèi)解決謎題。

4. 你的游戲是手工，他們的游戲是算法實(shí)時(shí)計(jì)算

說(shuō)句有點(diǎn)打擊人的實(shí)話：你要想真的手操這套信息論玩法，不太現(xiàn)實(shí)。研究者自己也在論文里說(shuō)了，如果要實(shí)時(shí)使用這個(gè)方法，玩家需要在旁邊運(yùn)行一個(gè)腳本或程序。具體操作就是，你每輸入一個(gè)詞以后，把Wordle給你的彩色反饋輸進(jìn)程序里，剩下的事情交給香農(nóng)熵去算，程序會(huì)吐出應(yīng)當(dāng)使用的下一個(gè)詞。

所以，那個(gè)99%的成功率背后，并不是某個(gè)天才大腦在裸算，而是數(shù)學(xué)和計(jì)算力在替你做最優(yōu)決策。你那只憑肌肉記憶敲詞的雙手，和人家那套根據(jù)當(dāng)前剩余單詞池精確計(jì)算每一個(gè)候選詞信息增益的腳本，根本不在一個(gè)賽道上。但這也正好解釋了為什么我們平時(shí)雖然有時(shí)能贏，卻沒(méi)法穩(wěn)定地把勝率拉滿——人類在工作記憶容量和即時(shí)概率估計(jì)上，天生就不如一個(gè)目標(biāo)明確的算法。

這并不意味著你的直覺(jué)毫無(wú)價(jià)值。事實(shí)上，Wordle的開(kāi)發(fā)者Josh Wordle設(shè)計(jì)游戲時(shí)，本就希望它成為一個(gè)直覺(jué)和邏輯混合的有趣挑戰(zhàn)。只是當(dāng)研究者用信息論的透鏡去看它時(shí)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)游戲的底層邏輯早就寫好了最優(yōu)解的數(shù)學(xué)路徑，只是大多數(shù)人一直繞著走。

5. 99%怎么得來(lái)的，以及這個(gè)數(shù)字到底意味著什么

研究團(tuán)隊(duì)宣稱他們用這套基于香農(nóng)熵的方法，在Wordle中達(dá)到了99%的成功率。這背后當(dāng)然不是手動(dòng)打了幾萬(wàn)局，而是通過(guò)大量基于算法的游戲模擬得出的統(tǒng)計(jì)結(jié)論。雖然原文沒(méi)有交代具體模擬了多少局，但99%這個(gè)數(shù)字已經(jīng)足夠說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題：把猜詞徹底當(dāng)成信息收集任務(wù)去求解，幾乎可以把失敗率壓到小概率事件的范疇。

這個(gè)數(shù)字也順帶吐槽了另一種常見(jiàn)玩法——很多人喜歡用前兩次猜測(cè)去試出盡可能多的元音和頻率高的輔音，以為這就是“科學(xué)”。但實(shí)際上，這種策略依舊是在憑感覺(jué)去分配信息測(cè)試，而不是精確計(jì)算每一次猜測(cè)帶來(lái)的熵減期望值。兩者的差距就像用溫度計(jì)測(cè)體溫和用紅外熱像儀看全身熱分布，雖然都在測(cè)溫，但精度完全不在一個(gè)量級(jí)。

還有一點(diǎn)值得注意：99%并不是100%。那1%的失敗機(jī)會(huì)，或許就來(lái)自那些無(wú)論你怎么猜都信息量受限的極端單詞分布，也可能是題目本身的設(shè)計(jì)讓某些開(kāi)局無(wú)論如何都無(wú)法在六步內(nèi)徹底消除不確定性。研究者沒(méi)有拍胸脯說(shuō)“徹底消滅失敗”，而是呈現(xiàn)了一個(gè)大幅提高勝率的方法，這種克制的語(yǔ)氣反倒讓結(jié)論更加可信。

現(xiàn)在回過(guò)頭來(lái)看Wordle的每一次灰黃綠閃爍，你可能會(huì)多一層理解：那不是在“告訴你答案是什么”，而是在一遍遍刷新你對(duì)剩余選項(xiàng)的“不確定性地圖”。你以為自己是在猜單詞，實(shí)際上你一直在做的，是用有限的機(jī)會(huì)去換回越來(lái)越精確的信息。游戲沒(méi)有變，信息論也沒(méi)有變，只是我們終于看懂了兩者之間那個(gè)巧妙的等式。

最后留一個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題吧：如果以后Wordle發(fā)布了一個(gè)困難模式，或者題目池變了，這套基于熵的策略還能不能繼續(xù)99%？這可能需要新的計(jì)算，但思路大概不會(huì)過(guò)時(shí)——在任何需要逐步獲取信息的場(chǎng)景里，也許你都該先問(wèn)問(wèn)自己：我接下來(lái)這個(gè)動(dòng)作，是為了撞大運(yùn)，還是為了最大程度地搞清楚局面？而不只是在猜單詞這件事上。