圖/OpenAI

編者按：如果這篇論文是由人類撰寫并提交給《數(shù)學(xué)年刊》，來向我征求意見，我會毫不猶豫地推薦接收?！狈茽柶潽劦弥鞯倌鳌じ郀査梗═imothy Gowers）評價一篇剛剛出現(xiàn)在預(yù)印本平臺 arXiv 上的數(shù)學(xué)論文。

論文討論的，是匈牙利數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什1946年提出的Erd?s 平面單位距離猜想。幾十年來，盡管始終無人能夠給出完整證明，但大多數(shù)研究者都傾向于相信猜想成立。

然而，上述論文通過構(gòu)造反例推翻了這個猜想。更關(guān)鍵的是，論文的核心思路并非來自人類，而是OpenAI未公開的一個模型。

這并不是AI第一次闖入數(shù)學(xué)前沿。過去一年間，AI 頻繁出現(xiàn)在數(shù)學(xué)研究的新聞之中。就在2025年底，OpenAI還因夸大AI在數(shù)學(xué)上的進展而陷入爭議，當(dāng)時OpenAI宣稱GPT-5已經(jīng)解決多個“埃爾德什問題”。隨后事實證明，那些所謂成果大多只是發(fā)現(xiàn)了已存在于文獻中的解答。

進入2026年，多個埃爾德什問題陸續(xù)在AI幫助下獲得解決，其中一些成果甚至得到了包括菲爾茲獎得主陶哲軒等多位頂尖數(shù)學(xué)家的確認(rèn)與擴展。特別是四月底23歲的利亞姆·普賴斯（Liam Price）在沒有任何正式數(shù)學(xué)訓(xùn)練的情況下，通過向AI提問獲得了埃爾德什問題#1196的解答。

陶哲軒承認(rèn)AI給出解答的獨創(chuàng)性，他表示“關(guān)注過它的人類數(shù)學(xué)家，集體在第一步就走錯了方向”。很快，他將GPT提出的證明精煉拓展，發(fā)布了一篇論文。

5月20日，OpenAI又宣稱解決了平面單位距離猜想。這次他們請到了9位數(shù)學(xué)家來審核，這些數(shù)學(xué)家在隨后撰寫的文章中，對AI提出的解法給出了高度贊譽。

沃爾夫獎得主諾加·阿隆（Noga Alon）評價“這是一項杰出成就”。蒂莫西·高爾斯還不無憂慮地表示“我們或許已經(jīng)進入一個人類在解決數(shù)學(xué)問題方面很難與AI競爭的時代”。

在單位距離猜想相關(guān)結(jié)果公布后，數(shù)學(xué)研究者馬驍利用 GPT-5.5 Pro 成功復(fù)現(xiàn)了 OpenAI 構(gòu)造的反例。

馬驍現(xiàn)任密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)系 Donald J. Lewis Research Assistant Professor，并將于今年入職中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)任教授職位。他2018年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)本科畢業(yè)，2023年普林斯頓大學(xué)博士畢業(yè)，之后到密歇根大學(xué)從事博士后研究。其與鄧煜、Zaher Hani 關(guān)于希爾伯特第六問題的合作研究，嚴(yán)格建立了從微觀粒子運動到宏觀流體方程的數(shù)學(xué)聯(lián)系，被認(rèn)為是希爾伯特第六問題狹義版本上的重要突破。

單位距離猜想的推翻結(jié)果意味著什么？AI會給數(shù)學(xué)研究帶來什么？數(shù)學(xué)家們的護城河還能存在多久？圍繞這些問題，《知識分子》專訪了馬驍。

編輯｜張?zhí)炱?

最近，OpenAI 的內(nèi)部模型通過構(gòu)造反例，解決了 Erd?s 平面單位距離猜想。密歇根大學(xué)博士后、即將入職中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的數(shù)學(xué)研究者馬驍，隨后借助 GPT-5.5 Pro 成功復(fù)現(xiàn)了這一構(gòu)造。這說明，類似能力已經(jīng)不只存在于內(nèi)部研究模型中，普通用戶能夠使用的模型也開始接近這一水平。

在外界看來，這似乎是 AI 在數(shù)學(xué)研究中的一次標(biāo)志性突破。但馬驍并不感到特別驚訝。幾個月前，包括他在內(nèi)的不少人就曾利用更早版本的 GPT 解決過若干公開問題。在他看來，那些工作中 AI 展現(xiàn)出的創(chuàng)造力并不比這次低，只是因為沒有 Erd?s 單位距離猜想這么有名，所以沒有引起同樣規(guī)模的關(guān)注。

“我很早就認(rèn)為，它早晚有一天會出來這樣一個新的成果?！?br/>

不過，馬驍也認(rèn)為，這次進展的新聞效應(yīng)可能大于其實際數(shù)學(xué)尺度。它當(dāng)然是一個漂亮而重要的成果，但從證明結(jié)構(gòu)來看，它還不是那種需要幾十頁、上百頁連續(xù)推進的現(xiàn)代數(shù)學(xué)大定理。更準(zhǔn)確地說，它展示的是 AI 在“少跳、跨學(xué)科、高模式匹配”問題上的強大能力。

01 數(shù)學(xué)是多跳思考

馬驍認(rèn)為，數(shù)學(xué)研究本質(zhì)上是一種多跳思考。

什么是“一跳”呢？研究者面對一個目標(biāo)時，往往需要不斷拆解出子目標(biāo)，并一步步解決它們。每解決一個小目標(biāo)，就相當(dāng)于完成了一跳。一個證明可能只有幾跳，也可能需要幾十跳、上百跳。

完成每一跳，依賴的不只是邏輯推理，也依賴知識積累、對理論的熟悉程度，以及模式識別能力。很多時候，數(shù)學(xué)家之所以能想到某個方向，是因為他見過足夠多相似結(jié)構(gòu)，知道某個工具在這里可能有用。

從這個角度看，AI 在少跳問題上已經(jīng)表現(xiàn)出很強能力。它接觸過大量數(shù)學(xué)內(nèi)容，熟悉許多不同領(lǐng)域的工具，因此在快速調(diào)用知識、識別結(jié)構(gòu)、完成跨領(lǐng)域聯(lián)想的問題上，有時會展現(xiàn)出驚人的表現(xiàn)。

02 這次為什么仍然是“少跳問題”

Erd?s 單位距離問題問的是：平面上給定 (n) 個點，最多能出現(xiàn)多少對距離為 1 的點？

這個問題看起來屬于離散幾何或組合數(shù)學(xué)，但這次 AI 給出的反例構(gòu)造，用到了很深的代數(shù)數(shù)論工具。

證明中確實有跨領(lǐng)域跳躍。粗略拆開，大約有六七跳：從“證明上界”轉(zhuǎn)向“尋找反例”，再回到 Erd?s 的格點構(gòu)造；從平方格點聯(lián)想到高斯整數(shù)；再從高斯整數(shù)推廣到更一般的數(shù)域整數(shù)環(huán)；隨后引入高維格點與平面投影，把數(shù)論構(gòu)造轉(zhuǎn)化為平面單位距離構(gòu)造；最后再用分裂素數(shù)、類群和類域塔等工具控制參數(shù)。

這些轉(zhuǎn)換對大多數(shù)研究者而言并不自然，因此長期沒有被充分探索。

但如果把證明鏈條展開，會發(fā)現(xiàn)核心邏輯其實只有有限幾跳，證明篇幅也只有幾頁。它的難點更多在于找到正確的跨學(xué)科連接，而不是完成一個上百頁級別的長鏈條證明。

因此，在馬驍看來，這次進展更接近頂級 IMO（國際數(shù)學(xué)奧賽）題目的跳躍方式與跳躍次數(shù)。這里的“IMO 級別”并不是說數(shù)學(xué)工具簡單。恰恰相反，證明中用到了 CM 域、數(shù)域整數(shù)環(huán)、類群、分裂素數(shù)、類域塔等專業(yè)數(shù)論工具，遠(yuǎn)超高中競賽范圍。

但如果忽略知識門檻，只看思維結(jié)構(gòu)，它像一道非常難的競賽題：真正關(guān)鍵的是少數(shù)幾個不容易想到的轉(zhuǎn)化。一旦找到了正確視角，證明本身并不需要特別漫長的連續(xù)執(zhí)行。很多人喜歡低估 IMO 題目的難度，其實頂級 IMO 題目在思維跳躍上已經(jīng)不輸于很多科研問題，只是問題本身的重要性不同。

這說明 AI 已經(jīng)能在少跳問題上完成很強的跨學(xué)科創(chuàng)造，但還不能說明 AI 已經(jīng)能夠穩(wěn)定完成長篇幅、強執(zhí)行、強驗證的數(shù)學(xué)研究。

03 人類數(shù)學(xué)家為什么沒做出來？

馬驍認(rèn)為，人類數(shù)學(xué)家長期沒有破解這個猜想，并不只是因為問題本身困難，也和數(shù)學(xué)家的工作方式有關(guān)。

組合數(shù)學(xué)家往往不會長期死磕某一個著名猜想。他們更常見的方式，是先發(fā)展自己的理論體系，等理論成熟之后，再去看哪些問題可以用這些理論解決。

因此，許多著名猜想對他們來說，更像是一種 benchmark：它們可以用來測試?yán)碚撌欠裼辛α浚幢厥茄芯空咭婚_始就全力攻克的目標(biāo)。

另一個原因是，這次 AI 的解法用到了較深的代數(shù)數(shù)論知識。這個領(lǐng)域?qū)W習(xí)門檻很高，很少有組合數(shù)學(xué)家會專門投入大量時間學(xué)習(xí)這些方法，只為了嘗試解決一個特定的組合問題。反過來，代數(shù)數(shù)論專家雖然也有人考慮過這個問題，但他們對組合數(shù)學(xué)和離散幾何的了解又未必足夠深入。

于是，這個問題長期處在兩個領(lǐng)域之間的縫隙里。

而跨領(lǐng)域知識的調(diào)用與重組，恰恰是 AI 的長處。

圖/OpenAI

此前已知的一種構(gòu)造，由縮放后的正方形網(wǎng)格產(chǎn)生大量單位距離點對。

04 AI 的優(yōu)勢是跨度，短板是執(zhí)行

馬驍過去也曾嘗試用 AI 證明一些數(shù)學(xué)問題。

他舉例說，在一個極小曲面中的微分幾何問題上，AI 想到的是代數(shù)幾何的解法；而在一些統(tǒng)計學(xué)問題上，AI 會從多復(fù)變的角度切入。

“它的思路跨度確實是非常大的，懂得特別多。”

但這不意味著 AI 已經(jīng)能夠超過數(shù)學(xué)家。

馬驍認(rèn)為：

“在目前這個階段，如果是在數(shù)學(xué)家自己最擅長的方向上，AI 通常還很難真正超過他本人。”

原因在于，在數(shù)學(xué)家最熟悉的方向上，他往往已經(jīng)知道應(yīng)該怎么做。真正困難的不是想出一個方向，而是沿著這個方向正確執(zhí)行大量步驟，把所有細(xì)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)匮a完。

這正是當(dāng)前 AI 的短板。

如果一個問題已經(jīng)有相對明確的思路，只是需要在大量細(xì)節(jié)上不斷嘗試和推進，AI 的表現(xiàn)還不夠穩(wěn)定。尤其是在需要長時間規(guī)劃、持續(xù)探索、反復(fù)驗證的任務(wù)上，AI 目前仍然有限。

因此，在現(xiàn)階段，AI 更像是一個能提出方案、提供靈感、幫助驗證局部細(xì)節(jié)的工具，而不是能夠獨立完成完整研究計劃的數(shù)學(xué)家。

圖/OpenAI

05 復(fù)現(xiàn)不是自動完成的

從馬驍復(fù)現(xiàn)這次成果的過程，也能看出讓 AI 產(chǎn)出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不是一件輕松的事。

他發(fā)現(xiàn)，如果直接把問題交給模型，通常很難得到有效答案。因此，他采用了一種“計劃與執(zhí)行”（Plan and Execute）的模式。

具體來說，他先讓 AI 列出幾種可能的解決思路，再由自己進行篩選。由于每一步的分支數(shù)量有限，再加上他一開始就明確告訴 AI“這個命題是錯的”，AI 給出的候選方向并不算太多。通過這種“人做決策，AI 提供方案”的方式，最終成功復(fù)現(xiàn)了破解猜想的方案。

但即使找到正確方向，AI 輸出的內(nèi)容也不能直接作為論文證明。

馬驍表示，GPT 生成的證明經(jīng)常會跳過關(guān)鍵細(xì)節(jié)，有時還會出現(xiàn)小錯誤，不符合論文標(biāo)準(zhǔn)。整理、補全和重寫這些證明，本身就需要大量工作。AI 也經(jīng)常生成錯誤結(jié)果，因此驗證同樣耗時。

他的辦法是把驗證工作放到全新的對話框里單獨進行。

“新的對話框或者在已有對話框里專門要求驗證的，一般都是對的，驗證能力也很強，但是 AI 還不能完全自主地同時做到證明強和驗證強。”

06 數(shù)學(xué)家還能安心多久

雖然馬驍認(rèn)為這次進展沒有外界想象中那么大，但他也認(rèn)為，不應(yīng)該低估 AI 對數(shù)學(xué)未來的影響。

如果 AI 只能完成幾頁證明，那么它的能力仍然主要局限在少跳問題上。它可以提出跨學(xué)科想法，也可以解決一些短而巧的問題，但還無法替代數(shù)學(xué)家完成復(fù)雜的長鏈條研究。

但是，隨著智能體領(lǐng)域的快速發(fā)展，情況一定會發(fā)生變化。

未來的 AI 會越來越像一個完整的研究系統(tǒng)：它能夠規(guī)劃目標(biāo)，展開搜索，驗證中間結(jié)論，發(fā)現(xiàn)錯誤后自我修正，并不斷提高連續(xù)正確執(zhí)行的次數(shù)。換句話說，AI 能穩(wěn)定完成的數(shù)學(xué)證明長度，幾乎必然會逐步提升。

如果 AI 能夠穩(wěn)定完成的長度從 10 頁增長到 30 頁，再從 30 頁增長到 100 頁，那么數(shù)學(xué)研究的格局將不只是發(fā)生局部變化，而是可能被徹底重塑。

一旦 AI 能夠處理百頁級別的證明，它的數(shù)學(xué)能力將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過任何單個數(shù)學(xué)家，甚至可能超過全體數(shù)學(xué)家能夠同時覆蓋的范圍。那時，圍棋的故事有可能復(fù)現(xiàn)——AI 像上帝一樣，人類數(shù)學(xué)家和 AI 合作可能不如 AI 自己。

而這一天，按照目前智能體的發(fā)展速度來看，不一定會太久，最早可能是今年年底，也可能是明年。

馬驍說，是時候來思考未來我們應(yīng)該做什么了。