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你是否見過一種奇特的玩具，它外形對(duì)稱規(guī)整，看似普通，但是當(dāng)我們讓其沿一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，最終它會(huì)沿反方向移動(dòng)。這種看似“有點(diǎn)性格”的玩具，也被稱為“凱爾特石”。它是一個(gè)物理玩具，更是一塊讓無(wú)數(shù)物理學(xué)家驚嘆的“神奇之石”。那么，它究竟是如何做到不聽你話的呢？

運(yùn)動(dòng)中的凱爾特石（圖片來源：網(wǎng)絡(luò)）

什么是凱爾特石？

凱爾特石的本體，其實(shí)就是一種具有不對(duì)稱特性的小物體，通常由木頭、塑料或石材制成。它的外形類似半橢球體，底部略呈彎曲，并帶有一條稍微扭曲的主軸線，看起來像一艘彎彎的獨(dú)木舟，或是一顆光滑的杏仁。

往一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，平穩(wěn)地旋轉(zhuǎn)（圖片來源：[2]）

乍一看，這塊石頭好像左右對(duì)稱、普普通通。但當(dāng)你試著用手讓它旋轉(zhuǎn)時(shí)，奇跡就出現(xiàn)了：

如果你朝某一個(gè)方向（比如順時(shí)針）撥動(dòng)它，它會(huì)平穩(wěn)順暢地一直轉(zhuǎn)下去，毫無(wú)異常。

可如果你朝相反方向（比如逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)它，它只勉強(qiáng)轉(zhuǎn)上兩三圈，就會(huì)突然停下來，然后像“反悔”了一樣，自動(dòng)掉頭朝著剛才那個(gè)平穩(wěn)的方向旋轉(zhuǎn)回去。

往另一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，不聽使喚（圖片來源：[1]）

一個(gè)看似對(duì)稱的物體，怎么會(huì)“偏心”地只喜歡一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)？這不就是和我們所理解的牛頓經(jīng)典力學(xué)矛盾嗎？在解答這個(gè)問題之前，我們先來了解一下它的歷史與命名。

凱爾特石的歷史與命名

凱爾特石的得名源于19世紀(jì)考古學(xué)家對(duì)凱爾特和埃及史前石器的發(fā)現(xiàn)。這種神秘物體最早由英國(guó)人注意到，早期還被稱為“反向陀螺”或“擺動(dòng)滾石”。它的英文名字為“Rattleback（抖退石）”或“Wobblestone（振動(dòng)石）”，形象地描繪了它在桌面上的不規(guī)則滾動(dòng)。

一款名為“頑固烏龜”的俄羅斯凱爾特石玩具（圖片來源：網(wǎng)絡(luò)）

如今，它成了物理演示實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典道具，被廣泛用于中學(xué)、大學(xué)的力學(xué)課程中，作為非線性動(dòng)力學(xué)的入門案例。

非對(duì)稱是關(guān)鍵

凱爾特石的奇妙行為，源于它的結(jié)構(gòu)不對(duì)稱性，這包括兩個(gè)方面：

• 幾何不對(duì)稱：雖然魔石外形看起來對(duì)稱，但實(shí)際上它的底部曲率在不同方向上不一樣，也就是“曲率非對(duì)稱”。

• 質(zhì)量分布不對(duì)稱：魔石內(nèi)部的質(zhì)量中心（質(zhì)心）可能略微偏離幾何中心。

凱爾特魔石的重心cm并不在它和桌面的接觸點(diǎn)P的正上方（圖片來源：[1]）

這兩種不對(duì)稱共同作用，使得它在某個(gè)方向旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。當(dāng)你讓它旋轉(zhuǎn)時(shí)，這些微妙的不對(duì)稱會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜的耦合運(yùn)動(dòng)，從而出現(xiàn)“自發(fā)減速”、“方向反轉(zhuǎn)”等違反直覺的現(xiàn)象。

凱爾特石的動(dòng)力學(xué)模型

為了理解這種反常行為，科學(xué)家建立了凱爾特石的剛體動(dòng)力學(xué)模型。這個(gè)剛體動(dòng)力學(xué)模型涉及到以下幾個(gè)關(guān)鍵物理概念：

1.進(jìn)動(dòng)與俯仰耦合

當(dāng)你旋轉(zhuǎn)魔石時(shí)，它不僅僅發(fā)生繞垂直軸的旋轉(zhuǎn)（自轉(zhuǎn)），還會(huì)發(fā)生俯仰與滾擺。在普通的對(duì)稱陀螺體中，這些運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的。但在凱爾特石中，這三種運(yùn)動(dòng)發(fā)生了耦合。這種耦合可以讓俯仰和滾擺的振動(dòng)逐漸“吸收”自轉(zhuǎn)的能量，使得魔石的自轉(zhuǎn)減速、甚至逆轉(zhuǎn)！

凱爾特石的滾動(dòng)軸和俯仰軸（圖片來源：[4]）

2.非保守系統(tǒng)與角動(dòng)量變化

魔石的運(yùn)動(dòng)是非保守的，也就是說，能量和角動(dòng)量在不同形式之間不斷轉(zhuǎn)換。當(dāng)你逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)魔石時(shí)，由于曲率和質(zhì)量分布的不對(duì)稱性，部分角動(dòng)量被“轉(zhuǎn)移”到滾動(dòng)和俯仰上，導(dǎo)致自轉(zhuǎn)迅速衰減。但由于角動(dòng)量守恒，這個(gè)“被轉(zhuǎn)移”的能量會(huì)再次轉(zhuǎn)化回來，從而形成反向旋轉(zhuǎn)。

3.數(shù)學(xué)模型：非線性耦合微分方程

描述凱爾特石運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是一組高度非線性的微分方程，通常包括6個(gè)自由度（3個(gè)位置、3個(gè)姿態(tài)角），而且還要考慮摩擦、曲率張量和慣性矩陣的變化。計(jì)算極其復(fù)雜，但核心思想可以簡(jiǎn)化為：

一方向旋轉(zhuǎn) → 動(dòng)能耦合 → 能量轉(zhuǎn)移 → 反向旋轉(zhuǎn)。

科學(xué)家最早在1890年代由Walker對(duì)這種模型進(jìn)行了理論研究，成為后續(xù)分析的基礎(chǔ)。此后涌現(xiàn)出大量研究論文，提出了各種理論解釋。

為什么只在一個(gè)方向“任性”？

你可能會(huì)問，既然有不對(duì)稱，為什么魔石只在一個(gè)方向上表現(xiàn)出“任性”？

金屬勺子制作的凱爾特石（圖片來源：[1]）

這是因?yàn)?strong>凱爾特石的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是有偏向性的。通常設(shè)計(jì)者會(huì)讓其在順時(shí)針方向上具有穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)模式，而在逆時(shí)針方向上觸發(fā)不穩(wěn)定耦合。這類似于汽車輪胎的“單向排水”花紋，只在一個(gè)方向有效。魔石的結(jié)構(gòu)就是它的“花紋”。

單導(dǎo)向花紋輪胎（圖片來源：[5]）

通過調(diào)整底部曲率張量、慣性主軸方向和質(zhì)心位置，科學(xué)家甚至可以“定制”魔石在兩個(gè)方向上都不穩(wěn)定，或都穩(wěn)定，但那就沒這么有趣了。

凱爾特石看似在挑戰(zhàn)牛頓的定律，實(shí)則完美地展示了非對(duì)稱剛體動(dòng)力學(xué)的奇妙世界。它用一個(gè)簡(jiǎn)單的外殼，承載了高等力學(xué)、非線性系統(tǒng)、能量耦合等復(fù)雜概念，是力學(xué)科普的典范。

參考文獻(xiàn)：

[1]https://mp.weixin.qq.com/s/kh93dts6KTPy6i0i8h9VAA

[2]https://mp.weixin.qq.com/s/NMq3Wqw7dL3fROJfq5W3eA

[3]劉延柱.凱爾特石的動(dòng)力學(xué)問題[C]//中國(guó)數(shù)學(xué)力學(xué)物理學(xué)高新技術(shù)交叉研究會(huì).中國(guó)數(shù)學(xué)力學(xué)物理學(xué)高新技術(shù)交叉研究學(xué)會(huì)第十二屆學(xué)術(shù)年會(huì)論文集.上海交通大學(xué)工程力學(xué)系,2008:195-199.

[4]https://mp.weixin.qq.com/s/UiRkgQus05-o01-hDXGspA

[5]https://mp.weixin.qq.com/s/6eYg5MuPFBYab6Ncmgrp-w

[6]劉延柱. 退旋剛體的動(dòng)力學(xué)解釋[C].上海力學(xué), 1982, (4): 19-24.

[7]劉延柱. 趣味剛體動(dòng)力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008, 30-36.

來源：力學(xué)科普

編輯：子木

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