北京
如果你學過數(shù)制轉(zhuǎn)換，一定記得那個“乘2取整法”：不斷將小數(shù)部分乘以2，記錄整數(shù)位，直到小數(shù)部分為零。這個方法應(yīng)對考試足夠了，但它的運作原理卻像個魔術(shù)——依步驟而行，答案正確，你卻說不清為何有效，也猜不透為何有時會無限循環(huán)。
以0.25為例。標準流程是：0.25×2=0.50，記錄0；0.50×2=1.00，記錄1；自上而下讀，二進制表示為0.01。答案沒錯，卻失于機械。另一種思路是：0.25就是1/4，而4是22。那何不把分子和分母分別轉(zhuǎn)為二進制，再完成這次除法？
分子1在二進制中仍是1，分母4轉(zhuǎn)為二進制是100。于是1/4就成了二進制中的1/100。除以100（以2為底的100，即十進制4）不需要長除法，因為100正是基數(shù)的冪次——正如十進制里除以100相當于移動兩位小數(shù)點。二進制中，除以100?同樣讓二進制小數(shù)點左移兩位：把“1.”移位后得0.01?。輸出結(jié)果與乘2法一致，但這次你清楚看見了背后的位置邏輯。
這并非巧合，而是位值系統(tǒng)的通理。任何形如a/2?的分數(shù)，都可以把a寫成二進制，再移動n位小數(shù)點。1/2位移1位得0.1?，1/8位移3位得0.001?，3/16（3寫作11?）移4位得0.0011?。這說明為何在嵌入式系統(tǒng)的定點數(shù)算術(shù)中，程序員常把分數(shù)隱含地當作整數(shù)加一個二進制小數(shù)點來處理，讓位位移取代除法——這個“技巧”實則是定點數(shù)思想的手動版。
捷徑依賴一個硬條件：分母必須是2的整數(shù)次冪。換成0.2，也就是分數(shù)1/5，就完全行不通了。5在二進制中是101——它是4+1，而非單一的2的冪次，無從施展干凈的移位。要計算1/101?，必須回歸二進制長除法，而且這個除法不會終結(jié)，會得到無限循環(huán)的0.0011001100110011…?。同樣的結(jié)構(gòu)性問題，也解釋了為何大多數(shù)編程語言中0.1加0.2不恰好等于0.3：那些小數(shù)在二進制里無法被精確截斷，截斷就會帶來舍入誤差。
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