學(xué)人簡(jiǎn)介：沈乾若，博士，獨(dú)立學(xué)者。加拿大博雅教育學(xué)會(huì)名譽(yù)會(huì)長(zhǎng)。從事比較教育研究，研究方向?yàn)榻逃w制與政策，基礎(chǔ)科學(xué)與數(shù)學(xué)教育。北京大學(xué)物理系畢業(yè)，北京航空航天大學(xué)工學(xué)碩士，加拿大西蒙菲沙大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)博士。在中國(guó)大陸和加拿大有數(shù)十年大、中學(xué)教學(xué)及辦學(xué)經(jīng)驗(yàn)。標(biāo)題為編者所擬，原標(biāo)題為《 美國(guó)共同核心課標(biāo)為何不能阻止數(shù)學(xué)下滑——小學(xué)算術(shù)的認(rèn)知路徑偏差》。

目錄：

一．引言

二．視覺模型的誤用與泛濫

l視覺模型用于計(jì)算

l圖示與對(duì)象的錯(cuò)配

l圖示對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的取代

l圖示的持續(xù)使用阻礙抽象思維

三．程序性運(yùn)算規(guī)則的貶低與削弱

四．目標(biāo)迷失的多重解法

五．記憶、理解與結(jié)構(gòu)

六．分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算如何難倒了美國(guó)學(xué)生？

七．結(jié)束語

一．引言

半個(gè)多世紀(jì)以來，美國(guó)K-12數(shù)學(xué)教育經(jīng)歷了三次大規(guī)模的改革：20世紀(jì)60-70年代的“新數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)，80-90年代的“改革數(shù)學(xué)”運(yùn)動(dòng)，和2010年至今的“共同核心數(shù)學(xué)”[1]。前兩項(xiàng)改革均未能達(dá)到設(shè)定的目標(biāo)。共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，迄今為止也已實(shí)施十六年，其效果又受到廣泛質(zhì)疑。

2003-2013年該標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施之前，全美范圍內(nèi)四年級(jí)和八年級(jí)的NAEP 數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诰彶缴仙?，?shí)施后卻均已下降[2]。 PISA和TIMSS等國(guó)際評(píng)估結(jié)果亦不容樂觀[3][4] 。該標(biāo)準(zhǔn)在社會(huì)上遭遇強(qiáng)烈反彈。許多家長(zhǎng)抱怨：數(shù)學(xué)教學(xué)讓人一頭霧水，家庭作業(yè)變得莫名其妙；孩子學(xué)會(huì)了解釋，卻不會(huì)算題。教師則反映：課程目標(biāo)抽象而難以落實(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)際操作性很差；課堂節(jié)奏被打亂，學(xué)生基礎(chǔ)明顯下降。

小學(xué)數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，可以非常生動(dòng)有趣，從而吸引學(xué)生的興趣；同時(shí)難度又不高。現(xiàn)今美國(guó)和加拿大的數(shù)學(xué)恐懼癥，居然從小學(xué)就已開始！問題顯然出在其源頭─課程標(biāo)準(zhǔn)和教材。多年來，美國(guó)數(shù)學(xué)教育改革及其成效引起了廣泛討論，部分研究從課程標(biāo)準(zhǔn)與政策層面進(jìn)行評(píng)估。[5][6][7][8]

“發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)”是貫穿前兩次運(yùn)動(dòng)的核心教學(xué)思想體系。斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)教育博士馬立平系統(tǒng)分析批評(píng)了這一體系，指出其弊端首先在于內(nèi)容與結(jié)構(gòu)，即欠缺重心的所謂“支股并列”[9]。這一結(jié)構(gòu)在小學(xué)階段壓縮算術(shù)，將方程、數(shù)列等中學(xué)內(nèi)容下放至小學(xué)；而且各支股內(nèi)容可以隨意更改，以致極不穩(wěn)定。

當(dāng)下的共同核心數(shù)學(xué)，摒棄了“支股并列”，恢復(fù)了小學(xué)數(shù)學(xué)以算術(shù)為重心的傳統(tǒng)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)，這一點(diǎn)應(yīng)予肯定。但發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)提倡“理解重于記憶”和“發(fā)現(xiàn)式教學(xué)”，在共同核心數(shù)學(xué)中仍然影響深遠(yuǎn)。后者不但延續(xù)，而且放大并系統(tǒng)化了前者在認(rèn)知路徑方面的偏差。本文的研究發(fā)現(xiàn)，正是這一偏差，使小學(xué)數(shù)學(xué)教育未得改善，反而持續(xù)下滑。

本文以共同核心廣泛使用的大概念數(shù)學(xué)教材為對(duì)象[10]，重點(diǎn)關(guān)注其算術(shù)部分，即整數(shù)和分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則運(yùn)算問題。

二．視覺模型的誤用與泛濫

在大概念數(shù)學(xué)教材中，首先映入眼簾的，是花樣繁多的各種視覺模型或稱圖示：從矩形、圓、方塊，到10x10數(shù)表，再到數(shù)軸、陣列等等；處理加減乘除任何一種運(yùn)算，能用的幾乎都用，甚至于貫徹始終。

視覺模型在西方數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其小學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位。運(yùn)用得當(dāng)，它們可以使抽象概念具體化，形象化，事半而功倍。比如負(fù)數(shù)和零的引進(jìn)，數(shù)軸十分必要而且關(guān)鍵；用十進(jìn)制塊演示位值概念，準(zhǔn)確恰當(dāng)，一目了然；對(duì)分?jǐn)?shù)及小數(shù)和百分?jǐn)?shù)的理解，常用的圓和矩形圖示也頗有助益；等等。

圖示的使用，需要精準(zhǔn)的語言闡述和符號(hào)運(yùn)算相配合，才能夠清晰地解釋問題的結(jié)構(gòu)與邏輯，使人理解。但大概念數(shù)學(xué)教材過分相信圖示的功能，其它手段往往跟不上；故即使圖示本身是精準(zhǔn)的，也難達(dá)到應(yīng)有的效果。

圖示一旦被濫用，更適得其反。共同核心數(shù)學(xué)比發(fā)現(xiàn)式數(shù)學(xué)更甚，在不少情況下，對(duì)圖示的依賴大大超出了合理范圍。以下為幾種典型情況：

l將圖示當(dāng)作計(jì)算工具。這是共同核心小學(xué)數(shù)學(xué)中最明顯的設(shè)計(jì)錯(cuò)誤之一。圖示的目的與功能為概念的形象展示，是為了理解，掌握其結(jié)構(gòu)和意義；視覺模型不適合承擔(dān)計(jì)算功能；要麼難以操作，要麼模糊不清，要麼繁瑣費(fèi)時(shí)。

譬如用10x10數(shù)表做加減法，乃較為原始幼稚的方法，相當(dāng)于小孩子掰手指；用數(shù)軸做大數(shù)加減，學(xué)生很難在數(shù)軸上準(zhǔn)確找出和或差的位置；以陣列來作乘法計(jì)算同樣不切實(shí)際，此類運(yùn)算通過乘法表的熟練運(yùn)用快速而高效。

l工具與對(duì)象的錯(cuò)配當(dāng)教學(xué)工具在結(jié)構(gòu)上無法映射概念本質(zhì)時(shí)，教學(xué)不但難以奏效，而且會(huì)造成認(rèn)知退化。

譬如用數(shù)軸演示乘法。數(shù)軸可以清晰地演示加減法: 向右移動(dòng)為加法，向左為減法。但它卻無法形象地解釋乘法。盡管當(dāng)乘法最初被定義為相同加數(shù)的和時(shí)，數(shù)軸概念仍具合理性。但作為二階運(yùn)算，乘法的本質(zhì)在于結(jié)構(gòu)縮放而非方向移動(dòng)；而數(shù)軸卻無法體現(xiàn)這一核心特征。在此情境下應(yīng)用數(shù)軸，實(shí)則暴露出工具與對(duì)象的脫節(jié)，致使二階運(yùn)算停留在一階層面。

l圖示對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的取代小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容本來與日常生活緊密相關(guān)。在引入新概念時(shí)，教學(xué)理應(yīng)從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境入手，以激發(fā)興趣并促進(jìn)理解。然而，在大概念教材中，概念往往首先通過圖示來呈現(xiàn)，而現(xiàn)實(shí)情境的運(yùn)用則相對(duì)不足，或被推后處理。

例如引入乘法與除法，“一盒裝有12個(gè)雞蛋，4盒共有多少個(gè)？” ，“40名學(xué)生分成5組，每組多少人？” 這類直觀而富有意義的提問，頗能調(diào)動(dòng)思維，然而教材中很少看到。

分配律同樣可以借助日常情境來說明，例如通過不同方式計(jì)算一次聚餐的費(fèi)用。教材卻常常從網(wǎng)格圖入手，盡管在數(shù)學(xué)上是正確的，但直觀性和吸引力都明顯不足。

分?jǐn)?shù)的教學(xué)亦是如此，教材通常借助圓形、網(wǎng)格和數(shù)軸等圖示展開，而與實(shí)際情境的聯(lián)系較為有限。

因此，圖示的使用，往往取代了學(xué)習(xí)本應(yīng)有的出發(fā)點(diǎn)─具體經(jīng)驗(yàn)，從而削弱了概念理解在初始階段的形成。

l持續(xù)使用圖示阻礙抽象思維圖示的功能，本應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解概念，從具體走向抽象，而不該停留在具體的層面。圖示須適可而止，及時(shí)地轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)抽象的軌道之中。

比如十進(jìn)制塊，用于整數(shù)位值的解釋直觀到位。然而，講授小數(shù)時(shí)再接著展示方塊則無必要。一則圖示本身比較復(fù)雜，不易理解；再則此時(shí)學(xué)生已經(jīng)構(gòu)建起位值概念，故亦無必要。至于掌握加減法之后再要求學(xué)生畫方塊來計(jì)算，甚至小數(shù)乘整數(shù)都用方格來展示，則更畫蛇添足。

類似的例子不勝枚舉。從自然數(shù)加減，到分?jǐn)?shù)與小數(shù)乘除，大概念數(shù)學(xué)教材都反復(fù)盲目地、持續(xù)地使用同樣的視覺模型。然而，圖示只是引入工具，而非認(rèn)識(shí)終點(diǎn)；抽象能力需要脫離圖示的階段。長(zhǎng)期依賴圖示，使思維停滯在低層次、幼稚化的感性層面，實(shí)際上阻礙學(xué)生思維能力的提升。

無論從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、認(rèn)知科學(xué)的研究，還是課堂教學(xué)的實(shí)踐來看，對(duì)于圖示的恰當(dāng)作用，早已形成廣泛共識(shí)。圖示并非學(xué)習(xí)的核心，其功能在于在適當(dāng)階段用以呈現(xiàn)概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。圖示不應(yīng)主導(dǎo)整個(gè)學(xué)習(xí)過程。當(dāng)前那種反復(fù)、無選擇且持續(xù)使用圖示的做法，已成為一項(xiàng)顯著的弊端，反映出對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的誤解。

三．程序性運(yùn)算規(guī)則的貶低與削弱

當(dāng)圖示被視為理解的主要路徑時(shí)，長(zhǎng)期以來形成的程序性知識(shí)與運(yùn)算規(guī)則，往往被視為僵化的、學(xué)生難以理解的操作程序而遭貶低或忽視。

美國(guó)學(xué)生對(duì)四則運(yùn)算的標(biāo)準(zhǔn)豎式算法掌握不足，是這種邊緣化現(xiàn)象的一個(gè)明顯例證。

豎式算法經(jīng)長(zhǎng)期驗(yàn)證可靠而高效，乃基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中數(shù)值計(jì)算強(qiáng)而有力的工具。其核心原理建立在十進(jìn)位制及分配律之上：將數(shù)分解為位值單位（個(gè)位、十位、百位等），分別運(yùn)算，再通過規(guī)范的進(jìn)位與借位加以整合。由此，計(jì)算過程呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)清晰、邏輯透明且可重復(fù)的特點(diǎn)。

這些方法本身并不難。通過清晰的講解和循序漸進(jìn)的例題訓(xùn)練，學(xué)生完全可以逐步達(dá)到理解與掌握。然而在實(shí)際教學(xué)中，他們卻成了難點(diǎn)；基礎(chǔ)性錯(cuò)誤─諸如位值錯(cuò)位、做減法時(shí)不分減數(shù)與被減數(shù)而一律用大數(shù)減小數(shù)等─在作業(yè)和測(cè)試中頻繁出現(xiàn)。

這些錯(cuò)誤的教學(xué)根源即在于對(duì)程序化記憶的貶低─豎式計(jì)算僅作為諸多方法中的一種加以介紹和練習(xí)，而非核心技能─同時(shí)冗余繁雜的圖示也并未達(dá)到切實(shí)理解的目地。

程序性學(xué)習(xí)的傳統(tǒng)路徑是清晰的：從原理出發(fā)，經(jīng)由規(guī)則形成，再到記憶、練習(xí)，進(jìn)而達(dá)到熟練，最終實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化。一旦基本原理得到理解，關(guān)鍵就在于建立明確的操作規(guī)則，并通過反復(fù)練習(xí)加以鞏固。正如斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)家 R. James Milgram 和 Ze’ev Wurman 所指出的[11]，共同核心標(biāo)準(zhǔn)并未要求學(xué)生達(dá)到自動(dòng)化水平─而這恰恰是高水平教育體系中數(shù)學(xué)能力的基石。

當(dāng)基本規(guī)則未能牢固建立并加以訓(xùn)練時(shí)，從理解走向熟練再到自動(dòng)化的過程便無法完成。算術(shù)基礎(chǔ)上的這一缺陷，使學(xué)生數(shù)學(xué)能力的進(jìn)一步發(fā)展愈加困難。

四．目標(biāo)迷失的多重解法

作為“理解”的體現(xiàn)，“多重解法”在共同核心中幾乎被神圣化。一個(gè)問題能夠通過不止一種方法解決，無疑很理想。然而，多種解法屬于錦上添花，并非解決問題所必需。數(shù)學(xué)的目標(biāo)是解決問題：哪一種方法更本質(zhì)、更高效、更具遷移性？準(zhǔn)確而簡(jiǎn)潔，方為數(shù)學(xué)之美。

譬如過河，或趟水，或游泳，或駕船，或搭橋；抵達(dá)對(duì)岸就達(dá)到目的。有何必要把各種途徑都重復(fù)一遍呢？然而，共同核心標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生為同一個(gè)問題嘗試所有可能的方法。其結(jié)果未必深化理解，卻往往成為多余負(fù)擔(dān)。

譬如100以內(nèi)的加減法，73+12=(70+10)+(3+2)，稱為“部分和”; 29+34=(20+30+10)+(9+4-10)=60+3稱為“重組”；85-57=28，是由于57+28=85，這叫“用加法做減法”；73-28=73-30+2,稱作“補(bǔ)償法”；如此等等，不一而足。還要使用10×10數(shù)表和數(shù)軸。實(shí)際上，這類簡(jiǎn)單的題目，豎式算法一蹴而就，心算亦不難。上述種種大多是些心算技巧; 學(xué)生通常能夠自行悟出；不需要正規(guī)地一一講授，占用篇幅。

再舉一例。大概念數(shù)學(xué)在講兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，羅列了位值法（十位數(shù)×十位數(shù)+十位數(shù)×個(gè)位數(shù)+個(gè)位數(shù)×十位數(shù)+個(gè)位數(shù)×個(gè)位數(shù)），面積法（總面積等于四個(gè)矩形面積之和）、分配律（14×23=(10+4)×(20+3)= 10×20+10×3+4×20+4×3），以及部分乘積和重組等所謂多重算法。一望便知，它們實(shí)際上是一回事；稱為不同算法十分勉強(qiáng)，是將一項(xiàng)簡(jiǎn)單任務(wù)變得不必要地復(fù)雜、冗余；結(jié)果學(xué)生做題時(shí)反而不知如何是好。

七年級(jí)講授百分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，乃多重解法的又一例證。譬如，問什麼數(shù)的52%為39？教材介紹了百分比例（39:W = 52:100)和百分公式(39 = 52%×W)兩種方法，第三種為引入比例概念時(shí)常用的表格。其實(shí)百分?jǐn)?shù)不過是分?jǐn)?shù)之一種，此處并無任何新概念需要探究；所謂的三種方法反應(yīng)的也是同一個(gè)關(guān)系。七年級(jí)學(xué)生已然掌握乘除法和分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)以及基本方程知識(shí)；最適合的，乃是超越表格和比例式等初等方法；直接作兩數(shù)相除（39÷52%）或解方程（X·52% = 39)這樣的簡(jiǎn)潔計(jì)算。

以上種種將概念碎片化包裝成創(chuàng)新的做法，用來展示多樣性；在大概念教材中屢見不鮮。

五．記憶、理解與結(jié)構(gòu)

“理解”已成為共同核心數(shù)學(xué)中的一個(gè)核心口號(hào)。前文所討論的幾類傾向——對(duì)圖示的高度依賴、對(duì)程序性規(guī)則的弱化以及對(duì)多種解法的推崇——都服務(wù)于這一目標(biāo)。

在美國(guó)K–12數(shù)學(xué)教育中，一個(gè)普遍的現(xiàn)象是：學(xué)生的學(xué)習(xí)困難往往在小學(xué)高年級(jí)至初中階段變得明顯。此前的內(nèi)容多屬于常識(shí)，即使不經(jīng)過系統(tǒng)學(xué)習(xí)，學(xué)生也能在日常生活中逐漸習(xí)得。 然而一旦進(jìn)入需要系統(tǒng)教學(xué)的內(nèi)容，許多學(xué)生便迅速陷入困境。

對(duì)于這一現(xiàn)象，“死記硬背”、“缺乏理解”是比較普遍的解釋。然而，美國(guó)學(xué)生既不背乘法表，也無需記憶公式（考試中通常會(huì)提供），何談機(jī)械記憶？他們不是記憶過多，而是太少；童年強(qiáng)大的記憶力在數(shù)學(xué)上很少用武之地。

將理解與記憶對(duì)立起來─推崇前者、貶低后者─是對(duì)認(rèn)知規(guī)律的一種曲解。事實(shí)上，理解與記憶是相互依存的：理解有助于記憶，而記憶則為理解提供基礎(chǔ)。缺乏記憶與練習(xí)，所謂的“理解”往往只是一種印象，模糊而不穩(wěn)定。對(duì)許多學(xué)習(xí)者，尤其是兒童，“先記憶、后理解”并不罕見。當(dāng)完整的概念理解暫時(shí)難以達(dá)成時(shí)，仍然需要學(xué)習(xí)規(guī)則并加以練習(xí)；而不能停留在似懂非懂的狀態(tài)止步不前。

數(shù)學(xué)終歸是關(guān)于概念、結(jié)構(gòu)和關(guān)系的理性學(xué)科；對(duì)概念的把握和抽象思維能力的形成，乃數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需遵循由現(xiàn)象到本質(zhì)，由表及里；亦即從具體到抽象，從淺層表現(xiàn)到底層邏輯的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

核心的概念結(jié)構(gòu)通常是簡(jiǎn)潔而統(tǒng)一的；深刻的理解體現(xiàn)為清晰與簡(jiǎn)約。相比之下，圖示和解法的繁多，缺乏核心，令教學(xué)停留在表層特征之上，并未真正指向概念結(jié)構(gòu)的深化。課程因而整體上呈現(xiàn)“多而雜”的形態(tài)；模糊，漂移而莫衷一是。[12] 同時(shí)徒增學(xué)生負(fù)擔(dān)，延長(zhǎng)了學(xué)習(xí)時(shí)間。

這在一定程度上解釋了何以許多美國(guó)學(xué)生難以發(fā)展起數(shù)學(xué)抽象能力。

六．分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算如何難倒了美國(guó)學(xué)生？

國(guó)際評(píng)估如TIMSS和PISA的結(jié)果多次揭示，分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算是美國(guó)學(xué)生的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)。其中突出的，如未能掌握分?jǐn)?shù)加減的通分法，以及分?jǐn)?shù)乘除法中的各種基礎(chǔ)性錯(cuò)誤：等等，都清楚地反映了前文所分析的認(rèn)知問題。

在大概念數(shù)材中，從分?jǐn)?shù)的等值，比較大小，到分?jǐn)?shù)加減，每一步都不厭其煩地使用矩形、圓和數(shù)軸等視覺模型。故而僅同分母分?jǐn)?shù)的加減法這一相對(duì)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，即用了數(shù)十頁來解釋。相比之下，異分母分?jǐn)?shù)加減─既是學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，又是主要難點(diǎn)─卻處理得較為有限且零散。通分法這一標(biāo)準(zhǔn)而高效的方法，只是作為多種解法中的一種，而非需要重點(diǎn)掌握的核心程序。這一偏差，給學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的掌握造成嚴(yán)重困難。

講授分?jǐn)?shù)乘除法，教材通常同時(shí)采用條形圖（一維）和面積模型（二維）。如前所述，二維的面積模型較為合適。

上圖所示為一個(gè)二維面積模型，解釋1/2 與3/4相乘的原理：(1/2)×(3/4)=(1×3)/(2×4)=3/8。藍(lán)色部分包含1×3個(gè)小矩形，而整體則包含2×4個(gè)；故乘積為3/8。

在教材中，圖示的應(yīng)用往往局限于具體例題，缺乏清晰嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑黻U述，概括與提升遠(yuǎn)為不足。因此，它難以充分說明為何分子與分母需要分別相乘，也未曾解釋清楚為什么除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以它的倒數(shù)。在這種情況下，對(duì)相關(guān)運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行記憶與反復(fù)練習(xí)就更為重要。

美國(guó)學(xué)生在分?jǐn)?shù)乘除法中常犯的錯(cuò)誤，如整數(shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)用它同時(shí)乘分子分母；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)做交叉相乘；做除法時(shí)顛倒被除數(shù)而非除數(shù)；等等，都反映出概念不清，規(guī)則不明。

此外，在通分時(shí)，教材往往采用分母相乘，而不是使用最小公倍數(shù)；乘法和除法運(yùn)算中，也未要求學(xué)生在中間步驟進(jìn)行約分；運(yùn)算過程因而無法擺脫大數(shù)計(jì)算的繁雜。對(duì)約分這一技能的系統(tǒng)性教學(xué)的推遲，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算方面留下明顯缺口。

美國(guó)學(xué)生能識(shí)別圖形中的分?jǐn)?shù)；能比較簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)大??；但在涉及分?jǐn)?shù)運(yùn)算但缺乏視覺輔助的情況下，其表現(xiàn)會(huì)急劇下降；因?yàn)樗麄兾茨苷莆贞P(guān)鍵運(yùn)算規(guī)則，不知如何操作。

2022年的一項(xiàng)研究提供了一個(gè)發(fā)人深省的例子[13]。研究要求學(xué)生比較2/3、3/4 和 3/8的大小。令人驚訝的是，研究者從學(xué)生解答中竟歸納出多達(dá)12種不同的方法，包括圖示、符號(hào)計(jì)算與語言表達(dá)等。在214名學(xué)生樣本中，約四分之一的學(xué)生未能給出答案。將近一半的學(xué)生依賴圖示模型，但其中只有28%得出了正確結(jié)論。相比之下，在使用通分法的學(xué)生中，大約三分之二回答正確。

然而，更令人擔(dān)憂的并非學(xué)生的表現(xiàn)，而是研究者的認(rèn)知。該研究將解決之道理解為鼓勵(lì)學(xué)生掌握多種解法，對(duì)這一傾向的局限性和偏差沒有任何警覺與反思。如此一來，它實(shí)際上會(huì)強(qiáng)化測(cè)試結(jié)果所揭示的那種混亂，進(jìn)一步弱化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算的掌握。

七．結(jié)束語

小學(xué)數(shù)學(xué)面向所有兒童，其首要任務(wù)在于為學(xué)生奠定基本的生活技能。課程標(biāo)準(zhǔn)和教材應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持這一目標(biāo)。趣味性和實(shí)用性是其中的關(guān)鍵因素，二者相輔相成；只要把握得當(dāng)，大多數(shù)學(xué)生都能夠掌握小學(xué)數(shù)學(xué)。至于概念理解和思維能力，本就在學(xué)習(xí)過程中自然形成，并不需要另設(shè)體系。離開基礎(chǔ)而空談思維，恐會(huì)導(dǎo)致方向性的偏差。

在K–12教育體系中，小學(xué)數(shù)學(xué)因其簡(jiǎn)單，尤易成為改革和大規(guī)模重構(gòu)的對(duì)象。然而，作為數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，一旦這一階段受到削弱，其影響將是深遠(yuǎn)的。運(yùn)算不熟練與概念結(jié)構(gòu)不穩(wěn)，往往會(huì)轉(zhuǎn)化為后續(xù)代數(shù)、三角、幾何以及各類科學(xué)學(xué)習(xí)中的困難。不怪美國(guó)人不喜歡數(shù)學(xué)，也不是美國(guó)的孩子和老師們懶惰，不努力。真實(shí)的情況是，學(xué)生們剛剛起步，就遭遇了被隨意修改過的數(shù)學(xué)課程。他們被搞得暈頭轉(zhuǎn)向，很多學(xué)生只好放棄。

始料未及的是，本世紀(jì)以來，國(guó)內(nèi)也深受這一套似是而非觀念的影響，搞什麼“大概念教學(xué)”、“理解型學(xué)習(xí)”。這樣下去，國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢(shì)恐難長(zhǎng)久維持。

美國(guó)長(zhǎng)期以來在創(chuàng)新方面處于領(lǐng)先地位。然而，教育并非一個(gè)以快速創(chuàng)新為特征的領(lǐng)域，而是一項(xiàng)以知識(shí)和文化傳承為宗旨的社會(huì)功能。其變革必須設(shè)有明確的邊界，并經(jīng)過審慎的驗(yàn)證。過去半個(gè)多世紀(jì)中，美國(guó)多次教育改革已提供不少經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)；近年來共同核心課程的實(shí)踐也再次令人反思。凡是涉及基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知路徑的改革，更應(yīng)格外謹(jǐn)慎——這一基本原則在當(dāng)代教育話語中卻常被忽視。

正如Frederick M.Hess所指出的[5]，共同核心在全國(guó)范圍內(nèi)推行時(shí)，既無充分的前期試驗(yàn)，也缺少必要的糾錯(cuò)機(jī)制。這類大規(guī)模改革的代價(jià)，并不止于效果不佳，而是波及整整一代人的認(rèn)知發(fā)展，關(guān)乎國(guó)家的科技與經(jīng)濟(jì)實(shí)力。

要恢復(fù)教育的穩(wěn)定與質(zhì)量，需要重新確認(rèn)上述原則，并在此基礎(chǔ)上推進(jìn)穩(wěn)健而審慎的持續(xù)改進(jìn)。

2026年3月

參考文獻(xiàn)

[1] National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers. Common Core State Standards for Mathematics. Washington, DC, 2010.

[2] Pioneer Institute. “Study Finds Historic Drop in National Reading and Math Scores Since Adoption of Common Core Curriculum Standards.” April 27, 2020.

[3] Mullis, Ina V. S., Michael O. Martin, Pierre Foy, et al. TIMSS 2019 International Results in Mathematics. Boston: TIMSS & PIRLS International Study Center, 2020.

[4] Organisation for Economic Co-operation and Development (OECD). PISA 2022 Results (Volume I): The State of Learning and Equity in Education. Paris: OECD Publishing, 2023.

[5] Hess, Frederick M. “How the Common Core Went Wrong.” National Affairs, no. 65 (Fall 2025).

[6] Polikoff, Matthew S., Michael J. Petrilli, and Tom Loveless. “A Decade On: Has Common Core Failed?” Education Next 20, no. 2 (2020): 72–81.

[7] McArdle, Elaine. “What Happened to the Common Core?” Harvard Graduate School of Education. September 2014.

[8] 蓮溪. 美國(guó)百年數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)[EB/OL]. 皮皮蝦微信公眾號(hào)，2017.

[9] 馬立平. 美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)之批評(píng)[J]，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（4）

[10] Larson, Ron, and Laurie Boswell. Big Ideas Math: Student Edition (Common Core 2019). Erie, PA: Big Ideas Learning, 2019.

[11] Milgram, R. James, and Ze’ev Wurman. The Mathematics Standards in the Common Core State Standards Initiative. Stanford University, 2014.

[12] 沈乾若. 發(fā)現(xiàn)式課標(biāo)拖垮小學(xué)數(shù)學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 2017, 56(11): 7–11.

[13] Liu, J., and E. Jacobson. “Examining U.S. Elementary Students’ Strategies for Comparing Fractions After the Adoption of the Common Core State Standards for Mathematics.” 2021.